樊宏涛副教授课题组在张量图像恢复理论和算法方面取得新进展

　　

近日，72886必赢樊宏涛副教授课题组在张量图像恢复理论和算法方面取得新进展，并以“Tensor Recovery Based on a Novel Non-Convex Function Minimax Logarithmic Concave Penalty Function ”为题在线发表于图像处理领域国际顶级期刊IEEE Transactions on Image Processing上，该期刊也是中国计算机学会推荐的A类(CCF A)学术期刊。我校硕士研究生张鸿冰为论文第一作者，樊宏涛副教授为论文通讯作者。

高维数据结构的复杂性使得许多应用问题的处理变得异常困难。然而，张量作为一种多维数据表示，在高光谱/多光谱遥感图像处理、磁共振成像数据恢复、彩色图像/视频处理等领域发挥了重要作用。这些实际应用问题可以转化为低秩张量恢复问题。然而，直接最小化张量秩是相当困难的，因此许多方法转而采用最小化张量核范数方法。但是，不同的张量分解会诱导出不同的张量秩和相应的核范数。为此，研究人员提出了多种不同的凸松弛方法来近似表示张量秩或管秩。然而，凸松弛方法存在一些缺陷，如有偏估计，对大的奇异值惩罚过度等，对问题求解造成了极大困难。为了突破凸松弛方法的限制，研究人员采用了一些非凸松弛策略来解决张量恢复问题。然而现有的非凸松弛方法无法在对张量较大的奇异值(可以确保图像的主要信息得到恢复)进行较少惩罚的同时，又能对张量较小的奇异值(通常包含噪声和错误信息)进行更多惩罚。

针对这一问题，该课题组提出了一种新的非凸函数，Minimax Logarithmic Concave Penalty (MLCP) 函数，突破了已有非凸函数只能单方面处理好张量恢复问题的限制。通过严格的数学证明，有趣的发现对数函数恰巧是该 MLCP 函数的上界，进而从理论上彻底保证了所提方法的优越性。与此同时，通过构造并设计出一类等价定理，从根本上克服了无法将 MLCP 函数拓广到高维数据情形时的技术壁垒，以及将其应用于张量恢复问题时无法获得其显式解的理论困难。该研究所提方法在视觉效果和量化结果上均取得了突出进展，并为深入探究非凸函数与其他变换(如DCT变换、酉变换、framelet 变换、甚至非线性变换) 之间的关系提供了强有力的理论和技术支撑。

该研究得到了国家自然科学基金、陕西省自然科学基础研究项目和72886必赢基本科研业务费数理专项的支持。

原文链接：https://ieeexplore.ieee.org/document/10145070